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On the sums of squares of exceptional units in residue class rings

发布时间:2023-12-13 作者: 浏览次数:
Speaker: 洪绍方 DateTime: 2023年12月18日(周一)下午16:00-17:00
Brief Introduction to Speaker:

洪绍方,四川大学数学学院教授、博士生导师,教育部新世纪优秀人才,四川省学术与技术带头人。1998年6月在四川大学获得理学博士学位,1998年7月至2000年6月,在中国科技大学数学系作博士后研究工作。2002年7月晋升教授。多次访问美国,法国,日本,以色列,韩国,以及香港和台湾等地区著名高校和研究所。于2013年参加在台湾大学举行的世界华人数学家大会,并作45分钟邀请报告。已经在国内外数学期刊发表学术论文百余篇,培养毕业硕士60多名,毕业博士20 多名,其中多人已晋升正高职称。

Place: 6号楼M323
Abstract:Let $n\ge 1, e\ge 1, k\ge 2$ and $c$ be integers. An integer $u$ is called a unit in the ring $\mathbb{Z}_n$ of residue classes modulo $n$ if $\gcd(u, n)=1$. A unit $u$ is called an exceptional unit in the ring $\mathbb{Z}_n$ if $\gcd(1-u,n)=1$. We denote by $\mathcal{N}_{k,c,e}(n)$ the number of solutions $(x_1,...,x_k)$ of the congruence $x_1^e+...+x_k^e\equiv c \pmod n$ with all $x_i$ being exceptional units in the ring $\mathbb{Z}_n$. In 2017, Mollahajiaghaei presented a formula for the number of solutions $(x_1,...,x_k)$ of the congruence $x_1^2+...+x_k^2\equiv c\pmod n$ with all $x_i$ being the units in the ring $\mathbb{Z}_n$. Meanwhile, Yang and Zhao gave an exact formula for $\mathcal{N}_{k,c,1}(n)$. In this talk, by using Hensel's lemma and the techniques of exponential sums as well as quadratic Gauss sums, we derive an explicit formula for the number $\mathcal{N}_{k,c,2}(n)$. Our result extends Mollahajiaghaei's theorem and that of Yang and Zhao.